今天小編分享的科學經驗：素數分布規律又有新發現！趙宇飛學生與牛津教授合作成果，歡迎閲讀。
趙宇飛高材生、哥倫比亞大學助理教授Mehtaab Sawhney（索尼），又為數學界貢獻了一項重要成果——
與牛津大學教授Ben Green（格林）一起，證明了一項關于素數分布的新規律。
關鍵是證明中用到了與Gowers 範數相關的技術，而 Gowers 範數一開始是拿來研究等差數列的，看上去和素數規律風馬牛不相及。
甚至作者索尼自己也表示，" 作為一個‘局外人’，幾乎不可能判斷出這些事情是相關的 "。
所以，這項研究不僅在素數領網域是一項重要工作，也揭開了高爾斯範數的應用潛能。
多倫多大學教授John Friedlander評價説，索尼和格林的這項研究表明高爾斯範數可以作為新領網域的強大工具。
最早和陶哲軒一同将素數和 Gowers 範數聯系到一起的數學家Tamar Ziegler（齊格勒），也對索尼和格林的研究給予了高度評價：
看到我前一段時間想到的東西有了意想不到的新應用，讓我覺得很有趣。
證明素數分布新規律
2018 年，Friedlander 和美國羅格斯大學的 Iwaniec 提出了 "高斯素數猜想"（Gaussian primes conjecture）：
存在無窮多個素數 p、q，使得 p ² +4q ² 也是素數。
（Friedlander 和 Iwaniec 的合作可以追溯到上個世紀，1997 年他們一同證明了 a ² +b ⁴可以組成無數個素數）
格林和索尼不僅證明了這一猜想，還将其推廣到了更多的情況——
對于滿足 n ≡ 0 或 n ≡ 4 ( mod 6 ) 的正整數 n，均存在無窮多個素數 p 和 q 使得 p ² +nq ² 也是素數。
同時，格林和索尼還為這些素數的數量給出了漸近公式：
其中∧ ( n ) 是 von Mangoldt 函數，用于檢測 n 是否為素數或素數的幂，N>1，W 為權函數，κ _n 是一個與 n 有關的常數：
顯然，滿足條件的素數數量不可能通過直接計算得到。
于是，格林和索尼選擇先将要證明的結論弱化，也就是先放寬一下約束條件——先将 p 和 q 的範圍放寬到 " 粗略素數 "。
舉個例子，如果我們要找出 1-200 之間的 " 粗略素數 "，可以找到與 2、3、5、7 這幾個小素數同時互素（最大公因數為 1）的數，這些數字即為 1-200 之間的 " 粗略素數 "。
（這些 " 粗略素數 " 當中，實際上不是素數的數，算上 1 也只有 5 個。）
格林和索尼證明，通過對兩個 " 粗略素數 " 進行平方并将它們相加，可以得到無限多個素數。
接下來，他們就需要證明使用 " 粗略素數 " 構建的集合，和使用真實素數構建的集合 " 足夠相似 "。
其中就涉及了最關鍵的技術突破—— Gowers 範數的使用。
Gowers 範數是一種測量函數 " 偽随機性 " 的工具，2001 年由數學家蒂莫西 · 高爾斯（Timothy Gowers）提出。
2018 年，陶哲軒和塔瑪爾 · 齊格勒（Tamar Ziegler）找到了一種将高爾斯範數與"Type I 和 " 與 "Type II 和 "之間聯系起來的方法。
具體到這項研究，作者首先通過篩法将問題簡化為 "Type I 和 "（左）與 "Type II 和 "（右）的估計：
篩法的核心思想是，通過對這兩類和的估計，過濾掉不滿足素數條件的數，從而集中分析那些可能使 p ² +nq ² 為素數的數值。
其中，"Type I 和 " 聚焦于單個變量的局部分布，幫助處理低階貢獻；"Type II 和 " 則關注雙變量互動，處理高階分布。
進一步地，作者将問題轉化到二次虛數網域Q ( √ ( -n ) ) ，并利用數網域中的理想分解、範數分布以及素理想的性質來研究目标數列的素數性。
具體來説，在整數環 Z 中，研究 x ² + ny ² 是否為素數，等價于在 Q ( √ ( -n ) ) 中分析主理想 x+y √ ( -n ) 是否為素理想。
接下來就輪到 Gowers 範數登場了。
為了控制 "Type II 和 "，論文定義了函數 f ( x ) 和 f ’ ( y ) ，其中∧ _Cram é r ( x ) 是 von Mangoldt 函數的低復雜度近似：
作者通過引入連接定理和逆定理，使用 Gowers 範數分析 f ( x ) 和 f ’ ( y ) 的偽随機性，從而證明了它們在大部分情況下對二次型 x ² + ny ² 的貢獻是可控的。
也就是説，作者通過篩法和 Gowers 範數，證明了關鍵的中間結果——x, y 的組合分布是均勻的。
最終的表達式中，主項來源于數網域中範數 N ( x+ y √ ( -n ) ) 的分布，利用數網域的素理想定理，可以得到主項。
"Type I 和 " 與 "Type II 和 " 帶來的誤差項，分别可以通過篩法分析和 Gowers 範數的均勻性假設來控制。
兩者結合後，誤差項對主項的影響是次級的。
将主項和誤差項結合，最終得出目标公式：
結緣于 Gowers 範數
這項研究的兩位作者——格林和索尼，説起來也是頗有緣分。
格林是牛津大學數學教授、陶哲軒的長期合作者，同時還是英國皇家學會 Fellow。
索尼一開始在賓夕法尼亞大學讀計算機，然後在2017 年轉到 MIT 主修數學，成為了趙宇飛的學生，之後又在趙宇飛手下讀博，并于今年 6 月畢業。
今年初索尼成為了克萊研究員，現在索尼在哥倫比亞大學擔任教職。
讓兩人走到一起的，或許正是這次研究中用到的 Gowers 範數。
Gowers 範數是 1998 年菲爾茲獎得主、英國數學家蒂莫西 · 高爾斯（Timothy Gowers）在證明塞邁雷迪定理時提出的。
塞邁雷迪定理與等差數列相關：
若一個整數集 A 具有正的自然密度，則對任意的正整數 k，都可以在 A 中找出一個包含 k 項的等差數列。
所謂具有正自然密度，就是當 n 趨于無窮時，A 與 1,2, … ,n 這個數列的交集中元素個數與 n 的比值大于 0。
到了 2017 年，陶哲軒和格林一起給出了 k=4 時的新上界。
2022 年，正在陶哲軒那裏讀研二的James Leng（小冷）開始研究起了高爾斯的理論，并引起了索尼和他的師弟Ashwin Sah（小薩）的注意。
最終，。
與這次索尼和格林的研究一樣，三人在其中也使用了 Gowers 範數的逆定理，并且這項逆定理的發現者正是索尼、小冷和小薩。
順便提一句，打從本科起，索尼和小薩就是彼此的科研搭子，關系密切到索尼主頁列出的 70 篇論文裏，有 60 篇都帶小薩的名字。
而導師趙宇飛在本科時對他倆的評價就是：
（MIT）的大學生研究有着悠久的歷史和傳統，但在論文的質量和數量上，都達不到 Ashwin Sah 和 Mehtaab Sawhney 的水平。
説回索尼本人，今年七月，索尼和格林終于在愛丁堡的一次會議上會面。
索尼説自己一直非常欣賞格林，并表示格林 20 年前證明的一項開創性成果正是讓他選擇這個主題的原因之一。
格林也對這位年輕的數學家印象深刻，稱索尼是一位傑出的數學家，并 " 以某種方式知道一切 "。
于是，兩人決定合作，并将目光聚焦在了這次的 " 高斯素數猜想 "。
到牛津訪問一周後，索尼和格林對其證明有了思路，并于今年 10 月份發布了論文預印本。
此後，兩人又繼續合作，提出并證明了Furstenberg-S á rk ö zy 定理的改進界限。
論文地址：
https://arxiv.org/abs/2410.04189
參考鏈接：
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-uncover-a-new-way-to-count-prime-numbers-20241211/
— 完 —
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