今天小编分享的科学经验：素数分布规律又有新发现！赵宇飞学生与牛津教授合作成果，欢迎阅读。
赵宇飞高材生、哥伦比亚大学助理教授Mehtaab Sawhney（索尼），又为数学界贡献了一项重要成果——
与牛津大学教授Ben Green（格林）一起，证明了一项关于素数分布的新规律。
关键是证明中用到了与Gowers 范数相关的技术，而 Gowers 范数一开始是拿来研究等差数列的，看上去和素数规律风马牛不相及。
甚至作者索尼自己也表示，" 作为一个‘局外人’，几乎不可能判断出这些事情是相关的 "。
所以，这项研究不仅在素数领網域是一项重要工作，也揭开了高尔斯范数的应用潜能。
多伦多大学教授John Friedlander评价说，索尼和格林的这项研究表明高尔斯范数可以作为新领網域的强大工具。
最早和陶哲轩一同将素数和 Gowers 范数联系到一起的数学家Tamar Ziegler（齐格勒），也对索尼和格林的研究给予了高度评价：
看到我前一段时间想到的东西有了意想不到的新应用，让我觉得很有趣。
证明素数分布新规律
2018 年，Friedlander 和美国罗格斯大学的 Iwaniec 提出了 "高斯素数猜想"（Gaussian primes conjecture）：
存在无穷多个素数 p、q，使得 p ² +4q ² 也是素数。
（Friedlander 和 Iwaniec 的合作可以追溯到上个世纪，1997 年他们一同证明了 a ² +b ⁴可以组成无数个素数）
格林和索尼不仅证明了这一猜想，还将其推广到了更多的情况——
对于满足 n ≡ 0 或 n ≡ 4 ( mod 6 ) 的正整数 n，均存在无穷多个素数 p 和 q 使得 p ² +nq ² 也是素数。
同时，格林和索尼还为这些素数的数量给出了渐近公式：
其中∧ ( n ) 是 von Mangoldt 函数，用于检测 n 是否为素数或素数的幂，N>1，W 为权函数，κ _n 是一个与 n 有关的常数：
显然，满足条件的素数数量不可能通过直接计算得到。
于是，格林和索尼选择先将要证明的结论弱化，也就是先放宽一下约束条件——先将 p 和 q 的范围放宽到 " 粗略素数 "。
举个例子，如果我们要找出 1-200 之间的 " 粗略素数 "，可以找到与 2、3、5、7 这几个小素数同时互素（最大公因数为 1）的数，这些数字即为 1-200 之间的 " 粗略素数 "。
（这些 " 粗略素数 " 当中，实际上不是素数的数，算上 1 也只有 5 个。）
格林和索尼证明，通过对两个 " 粗略素数 " 进行平方并将它们相加，可以得到无限多个素数。
接下来，他们就需要证明使用 " 粗略素数 " 构建的集合，和使用真实素数构建的集合 " 足够相似 "。
其中就涉及了最关键的技术突破—— Gowers 范数的使用。
Gowers 范数是一种测量函数 " 伪随机性 " 的工具，2001 年由数学家蒂莫西 · 高尔斯（Timothy Gowers）提出。
2018 年，陶哲轩和塔玛尔 · 齐格勒（Tamar Ziegler）找到了一种将高尔斯范数与"Type I 和 " 与 "Type II 和 "之间联系起来的方法。
具体到这项研究，作者首先通过筛法将问题简化为 "Type I 和 "（左）与 "Type II 和 "（右）的估计：
筛法的核心思想是，通过对这两类和的估计，过滤掉不满足素数条件的数，从而集中分析那些可能使 p ² +nq ² 为素数的数值。
其中，"Type I 和 " 聚焦于单个变量的局部分布，帮助处理低阶贡献；"Type II 和 " 则关注双变量互動，处理高阶分布。
进一步地，作者将问题转化到二次虚数網域Q ( √ ( -n ) ) ，并利用数網域中的理想分解、范数分布以及素理想的性质来研究目标数列的素数性。
具体来说，在整数环 Z 中，研究 x ² + ny ² 是否为素数，等价于在 Q ( √ ( -n ) ) 中分析主理想 x+y √ ( -n ) 是否为素理想。
接下来就轮到 Gowers 范数登场了。
为了控制 "Type II 和 "，论文定义了函数 f ( x ) 和 f ’ ( y ) ，其中∧ _Cram é r ( x ) 是 von Mangoldt 函数的低复杂度近似：
作者通过引入连接定理和逆定理，使用 Gowers 范数分析 f ( x ) 和 f ’ ( y ) 的伪随机性，从而证明了它们在大部分情况下对二次型 x ² + ny ² 的贡献是可控的。
也就是说，作者通过筛法和 Gowers 范数，证明了关键的中间结果——x, y 的组合分布是均匀的。
最终的表达式中，主项来源于数網域中范数 N ( x+ y √ ( -n ) ) 的分布，利用数網域的素理想定理，可以得到主项。
"Type I 和 " 与 "Type II 和 " 带来的误差项，分别可以通过筛法分析和 Gowers 范数的均匀性假设来控制。
两者结合后，误差项对主项的影响是次级的。
将主项和误差项结合，最终得出目标公式：
结缘于 Gowers 范数
这项研究的两位作者——格林和索尼，说起来也是颇有缘分。
格林是牛津大学数学教授、陶哲轩的长期合作者，同时还是英国皇家学会 Fellow。
索尼一开始在宾夕法尼亚大学读计算机，然后在2017 年转到 MIT 主修数学，成为了赵宇飞的学生，之后又在赵宇飞手下读博，并于今年 6 月毕业。
今年初索尼成为了克莱研究员，现在索尼在哥伦比亚大学担任教职。
让两人走到一起的，或许正是这次研究中用到的 Gowers 范数。
Gowers 范数是 1998 年菲尔兹奖得主、英国数学家蒂莫西 · 高尔斯（Timothy Gowers）在证明塞迈雷迪定理时提出的。
塞迈雷迪定理与等差数列相关：
若一个整数集 A 具有正的自然密度，则对任意的正整数 k，都可以在 A 中找出一个包含 k 项的等差数列。
所谓具有正自然密度，就是当 n 趋于无穷时，A 与 1,2, … ,n 这个数列的交集中元素个数与 n 的比值大于 0。
到了 2017 年，陶哲轩和格林一起给出了 k=4 时的新上界。
2022 年，正在陶哲轩那里读研二的James Leng（小冷）开始研究起了高尔斯的理论，并引起了索尼和他的师弟Ashwin Sah（小萨）的注意。
最终，。
与这次索尼和格林的研究一样，三人在其中也使用了 Gowers 范数的逆定理，并且这项逆定理的发现者正是索尼、小冷和小萨。
顺便提一句，打从本科起，索尼和小萨就是彼此的科研搭子，关系密切到索尼主页列出的 70 篇论文里，有 60 篇都带小萨的名字。
而导师赵宇飞在本科时对他俩的评价就是：
（MIT）的大學生研究有着悠久的历史和传统，但在论文的质量和数量上，都达不到 Ashwin Sah 和 Mehtaab Sawhney 的水平。
说回索尼本人，今年七月，索尼和格林终于在爱丁堡的一次会议上会面。
索尼说自己一直非常欣赏格林，并表示格林 20 年前证明的一项开创性成果正是让他选择这个主题的原因之一。
格林也对这位年轻的数学家印象深刻，称索尼是一位杰出的数学家，并 " 以某种方式知道一切 "。
于是，两人决定合作，并将目光聚焦在了这次的 " 高斯素数猜想 "。
到牛津访问一周后，索尼和格林对其证明有了思路，并于今年 10 月份发布了论文预印本。
此后，两人又继续合作，提出并证明了Furstenberg-S á rk ö zy 定理的改进界限。
论文地址：
https://arxiv.org/abs/2410.04189
参考链接：
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-uncover-a-new-way-to-count-prime-numbers-20241211/
— 完 —
点这里关注我，记得标星哦～
一键三连「分享」、「点赞」和「在看」
科技前沿进展日日相见 ~
>
