《張朝陽的物理課》求解矩陣對角化問題

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什麼是量子力學的矩陣力學形式？線性代數如何恰當地描述量子世界？數學上如何嚴格求解一個微觀系統的能量本征值和本征态？6 月 2 日 12 時，《張朝陽的物理課》第 147 期開播，搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，先帶大家復習了如何以矩陣力學方法處理自旋系統，然後引申出現代量子力學的數學基礎——希爾伯特空間，介紹了以矢量描述系統狀态、算符描述力學量這一基本概念。張朝陽指出，如果約定好一組基矢，可以将态矢和算符都表示成矩陣的形式，進而量子力學的計算都可以等價于矩陣運算。特别地，求解算符的本征問題等價于尋找一個恰當的轉換矩陣，使得算符在新基矢下是一個對角矩陣。基于此，他以線性代數的方法，再一次嚴格求解了上一節課中受擾動的二能級系統能量本征值問題，得到了一致的結果。

在直播課上，簡單回顧了 Stein-Gerlach 實驗以及如何用矩陣力學方法處理自旋子系統的優越性和合理性之後，張朝陽為大家介紹了現代量子力學中最重要的數學概念——希爾伯特空間。在引入希爾伯特空間後，一個微觀系統的任意狀态都可以由空間中的一個矢量描述。而力學量則對應定義在空間上，将一個矢量轉變到另一個矢量的厄密算符。給定希爾伯特空間，找到一組正交歸一的基矢，使得所有态矢都能表達為它的線性組合。同時，我們總能在其上定義内積運算，以重新表達歸一化和求力學平均值的計算，得到與概率诠釋相一致的結果。

此後，張朝陽指出，如果事先已經約定好取某組基矢，或者用術語表達，選取好一個特定的表象。任意的态矢和算符都能被寫為矩陣的形式，而量子力學中的計算則對應到線性代數中的矩陣運算。然而，在兩組不同的基底或者說不同的表象下，态矢和算符的具體表達形式可以會不一樣，它們将通過一個轉換矩陣相互聯系，相互轉化。于是，求解給定算符的本征值和本征态等價于去尋找一個恰當的轉換矩陣，使得算符在轉換後的新表象下的矩陣表達是被對角化的。緊接着，張朝陽利用這個方法再次求解受擾動的二能級系統能量本征值問題，得到了與上一節課一致的結果。

截至目前，《張朝陽的物理課》已直播一百餘期，内容大都從自然界的現象出發，引出基本物理概念，推導基本理論，研算現象後面的根本原因，達到本質的理解。課程中使用較多數學推導展示物理與數學的不可分割，也能幫助讀者提升數學水平。

據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午 12 時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻 " 關注流 " 中搜索 " 張朝陽 "，觀看直播及往期完整視頻回放；關注 " 張朝陽的物理課 " 賬号，查看課程中的 " 知識點 " 短視頻；此外，還可以在搜狐新聞 APP 的 " 搜狐科技 " 賬号上，閱覽每期物理課程的詳細文章。

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